Uanset om du er i gang med at tjekke, hvor hurtigt du kan fylde din kaffemaskine eller blot tælle dine trin til busstoppet om morgenen, er der noget ved den monotoni i hverdagen, der får os til at prøve at gøre det til et spil. Indbyggerne i den prøyssiske by Konigsberg i det attende århundrede (nu, som du ved, dette er Kaliningrad) var de samme som os alle. Det var bare det spil, de spillede med syv broer i deres by, der en dag vakte interessen for en af de største matematikere i menneskets historie.
Konigsberg blev bygget ved bredden af floden Pregel (Pregolya), der opdelte byen i fire separate boligområder. Folk flyttede fra det ene område til det andet gennem syv forskellige broer. Ifølge legenden var et populært tidsfordriv under søndagsture at forsøge at krydse hele byen for kun at krydse hver bro. Ingen har fundet ud af, hvordan man gør dette, men det betyder ikke, at problemet ikke har nogen løsning. De måtte bare gå til den rigtige ekspert for at lære ham at kende.
I 1735 skrev borgmesteren for byen Danzig (nu den polske Gdansk), der ligger 120 kilometer vest for Konigsberg, Karl Leonard Gottlieb Ehler, til Leonard Euler med et brev, hvor han bad om hjælp til at løse dette problem på vegne af en lokal professor i matematik ved navn Heinrich Kuehn. Selv da var Euler en berømt og meget succesrig matematiker - han udgav sin første bog inden for et år efter dette brev, og i hele sit liv skrev han mere end 500 bøger og artikler.
Derfor er det ikke overraskende, at Euler først troede, at det var under hans værdighed at tackle dette problem, og skrev som svar:”Så forstår du, værdsat herr, denne type løsning har praktisk taget intet med matematik at gøre, og jeg forstår ikke, hvorfor du har at gøre med sådan en anmodning til en matematiker og ikke til nogen anden, da beslutningen kun er baseret på sund fornuft og ikke afhænger af nogen af de kendte matematiske principper."
I sidste ende lykkedes det imidlertid Ehler og Kühn at overbevise Euler, og han indså, at dette var en helt ny type matematik - "geometrien af positioner", i dag kendt som topologi. I topologi betyder den nøjagtige form eller placering af et objekt ikke noget. Der er endda en gammel vittighed om, at en topolog ikke kan fortælle forskellen mellem en doughnut og en kaffekop, da begge genstande har nøjagtigt et hul. Indtil da blev dette helt nye område i matematik kun skrevet om, men ingen forstod endnu, hvilke problemer det kunne løse. De syv Konigsberg-broer var en fremragende eksperimentel bekræftelse af den nye teori, da problemet ikke krævede målinger eller præcise beregninger. Du kan forvandle et komplekst bykort til en enkel og forståelig graf (diagram) uden at miste vigtige oplysninger.
Mens man måske var fristet til at løse dette problem ved at kortlægge alle de mulige ruter gennem byen, indså Euler øjeblikkeligt, at denne strategi ville tage for lang tid og ikke ville arbejde med andre lignende problemer (hvad hvis der var, siger tolv broer?). I stedet besluttede han at tage en pause fra broerne et stykke tid og markerede landet med bogstaverne A, B, C og D. Derfor kunne han nu beskrive rejsen over broen fra område A til område B som AB, og rejsen fra område A gennem område B-området D som ABD. Det er vigtigt at bemærke, at antallet af breve i rutebeskrivelsen altid vil være et mere end antallet af krydsede broer. Således krydser rute AB en bro, og rute ABD krydser to broer osv. Euler indså, at da der er syv broer i Konigsberg for at krydse dem alle,ruten skal bestå af otte bogstaver, hvilket betyder, at løsningen af problemet kræver nøjagtigt otte bogstaver.
Derefter kom han på en mere generel regel ved hjælp af en endnu mere forenklet ordning. Hvis du kun havde to overlandsektioner, A og B, og krydsede broen en gang, kunne sektion A være hvor rejsen begyndte eller hvor den sluttede, men du ville kun være i sektion A en gang. Hvis du krydsede broer a, b og c en gang, ville du være på sektion A nøjagtigt to gange. Dette førte til en praktisk regel: Hvis du har et jævnt antal broer, der fører til et stykke jord, skal du tilføje en til dette nummer og derefter dele det samlede antal med to for at finde ud af, hvor mange gange denne sektion skal bruges under din rejse. (i dette eksempel, ved at tilføje en til antallet af broer, det vil sige til 3, får vi fire, og ved at dele fire ved to får vi to,det vil sige, det er nøjagtigt to gange under rejsen, at afsnit A) krydses.
Salgsfremmende video:
Dette resultat bragte Euler tilbage til sit originale problem. Der er fem broer, der fører til Afsnit A, så den otte bogstaver, han leder efter, skal krydses tre gange. Afsnit B, C og D har to broer, der fører til dem, så hver skal krydse to gange. Men 3 + 2 + 2 + 2 er 9, ikke 8, skønt du i henhold til betingelsen kun skal gennem 8 sektioner og krydse 7 broer. Dette betyder, at det er umuligt at gå gennem hele byen Königsberg ved hjælp af hver bro nøjagtigt en gang. Med andre ord, i dette tilfælde har problemet ingen løsning.
Som enhver ægte matematiker stoppede Euler imidlertid ikke der. Han fortsatte med at arbejde og skabte en mere generel regel for andre byer med et andet antal broer. Hvis byen har et ulige antal broer, er der en enkel måde at finde ud af, om du kan foretage en sådan tur eller ej: Hvis summen af antallet af forekomster af hvert bogstav, der betegner et stykke jord, er en mere end antallet af broer (som f.eks. I den otte bogstaver-løsning, ca. nævnt tidligere), er en sådan rejse mulig. Hvis summen er større end dette antal, er det umuligt.
Hvad med et lige antal broer? I dette tilfælde afhænger det alt af, hvor man skal starte. Hvis du starter ved Sektion A og rejser over to broer, vises A to gange i din løsning. Hvis du starter på den anden side, vises A kun én gang. Hvis der er fire broer, vises A tre gange, hvis dette afsnit var udgangspunktet, eller to gange, hvis det ikke var tilfældet. Generelt betyder dette, at hvis rejsen ikke starter fra sektion A, skal den krydses dobbelt så mange gange som antallet af broer (fire divideret med to giver to). Hvis rejsen starter fra sektion A, skal den krydses endnu en gang.
Det geniale Euler-løsning ligger ikke engang i svaret, men i den metode, han anvendte. Det var et af de tidligste tilfælde af grafteori, også kendt som netværksteori, et meget efterspurgt matematikfelt i nutidens verden fyldt med transport, sociale og elektroniske netværk. Hvad angår Königsberg, endte byen med en anden bro, der gjorde Eulers beslutning kontroversiel, og derefter ødelagde de britiske styrker det meste af byen under 2. verdenskrig. I dag har både byen og floden nye navne, men det gamle problem lever i et helt nyt felt i matematik.
Igor Abramov