Jeg var et tilfældigt barn, der voksede op med litteratur og behandlede matematik og videnskab som om de kunne fange pesten. Derfor er det ret underligt, at jeg som et resultat blev en person, der hver dag beskæftiger sig med tredobbelte integraler, Fourier-transformationer og perlen i matematik. Det er svært at tro, at jeg fra en person med en bogstavelig medfødt fobi mod matematik blev en ingeniørprofessor.
En dag spurgte en af mine elever mig, hvordan jeg gjorde det: hvordan jeg ændrede hjernen. Jeg ønskede at svare: "For pokker, det var ekstremt svært!" Når alt kommer til alt kunne jeg ikke lave matematik og videnskab i grundskolen og gymnasiet. I virkeligheden begyndte jeg kun at tage matematikundervisning, efter at jeg blev fyret fra hæren, da jeg var 26 år gammel. Hvis der var et eksempel på potentialet for fleksibilitet i den voksne hjerne, ville jeg blive model nr. 1.
At studere matematik og naturvidenskab som voksen åbnede døren for mig til en verden med mange muligheder - ingeniørarbejde. Gennem hårdt arbejde i voksenalderen har min hjerneændring gjort det muligt for mig at se førstehånds neuroplastikken, der ligger til grund for voksnes læring. Heldigvis forberedte jeg mig på en doktorafhandling i systemteknik, der forbinder et kæmpe billede af forskellige STEM-discipliner (videnskab, teknologi, teknik, matematik) og derefter til min videre forskning og arbejde, som var centreret om strukturen i menneskelig tænkning, hjalp mig med at realisere sidstnævnte opdagelser inden for neurovidenskab og kognitiv psykologi relateret til læringsprocessen.
Siden jeg fik min ph.d., har tusinder af studerende været igennem mine hænder, studerende i folkeskolen og gymnasiet troede, at den hellige talisman ved at forstå matematik er aktiv diskussion. Det antages, at hvis du kan forklare andre, hvad du har lært, for eksempel ved at tegne et billede, så forstår du det.
Japan er blevet et beundringsværdigt og efterlignet eksempel på disse aktive læringsmetoder til "forståelse". Imidlertid tales der ikke ofte om ulempen ved dette koncept: Japan blev også fødestedet for Kumons metode til undervisning i matematik, som er baseret på huskning, gentagelse, sammenstopning og arbejde med, hvordan barnet mestrer materialet. Dette intense ekstracurricular-program (og andre lignende) er ivrigt modtaget af forældre i Japan og rundt om i verden, der supplerer deres børns online-uddannelse med masser af øvelse, gentagelse og ja, sofistikeret proppning for at give dem friheden til at mestre emnet.
I USA erstatter vægten af forståelse undertiden en anden ældre metode, der anvendes (og bruges) af forskere: for at studere matematik og naturfag er du nødt til at arbejde med hjernens naturlige proces.
Den seneste bølge af uddannelsesreformer inden for matematik handler om den obligatoriske skoleplan: det er et forsøg på at sætte stærke, ensartede standarder i hele Amerika, selvom kritikere påpeger, at standarderne ikke kan modstå sammenligning med de lande, der klarer sig bedst. I det mindste overfladisk giver standarderne et rimeligt perspektiv. De antager, at elever i matematik skal have lige konceptuel viden, flydende færdigheder i problemløsning og evnen til at anvende dem.
Fangsten ligger selvfølgelig i at få tingene gjort. I det nuværende uddannelsesklima ses ofte memorisering og gentagelse i STEM-discipliner (versus at studere sprog eller musik) som et nedværdigende spild af tid af både studerende og lærere. Mange lærere har længe lært, at konceptuel viden er nøglen i STEM-discipliner. Faktisk er det lettere for lærere at engagere eleverne i en diskussion af et matematisk emne (og hvis det gøres ordentligt, udvikler det en bedre forståelse) end det er kedeligt at evaluere udført hjemmearbejde. Implikationen er, at flydende færdigheder og evnen til at anvende dem skal udvikle sig i lige mål med konceptuel viden, og dette sker ofte ikke. Udbredelsen af konceptuel viden hersker øverst, især i dyrebare klassetider.
Salgsfremmende video:
Vanskeligheden ved at fokusere på forståelse er, at i matematik og naturfagskurser kan studerende ofte forstå et vigtigt punkt, men denne viden kan hurtigt glide væk uden at være etableret i praksis og gentagelse. For at gøre tingene værre tror eleverne ofte, at de forstår noget, når de faktisk ikke gør det. Ved at fremhæve vigtigheden af forståelse kan lærere ubevidst skubbe deres elever mod fiasko, mens børn forkæler sig med illusionen om viden. Som en ingeniørstuderende for nylig fortalte mig (ikke bestået en eksamen):”Jeg forstår bare ikke, hvordan jeg kunne få et så dårligt resultat. Jeg forstod alt, da du forklarede i klassen. Min studerende havde måske troet, at han forstod emnet dengang, og måske gjorde han det, men han gennemførte aldrig denne viden i praksis for virkelig at lære det. Han har ikke udviklet nogen beslutningskompetence eller evnen til at anvende det, som han mener, han allerede har forstået.
Der er et interessant forhold mellem at studere matematik og naturfag og at mestre en sport. Når du lærer at slå med en golfklub, perfektionerer du denne bevægelse gennem konstant gentagelse over flere år. Din krop ved, hvad de skal gøre, når du bare tænker på det (hele blokken), i stedet for at huske alle de vanskelige trin, det tager for at slå bolden.
På samme måde, når du først har forstået noget om matematik og naturfag, behøver du ikke konstant at forklare det for dig selv hver gang du støder på et emne. Du behøver ikke at bære 25 kugler med dig, mens du konstant lægger rækker på fem stykker for at forstå, at 5 × 5 = 25. På et tidspunkt kender du det bare udenad. Du husker ideen om, at du bare skal tilføje eksponenterne (små tal skrevet ovenpå), når du multiplicerer det samme antal i forskellige grader (104 × 105 = 109). Hvis du udfører denne procedure ofte og løser mange forskellige typer problemer, vil du opdage, at du har en meget god forståelse af både årsagerne og handlingerne bag procedurerne. Forståelse udvides af det faktum, at din hjerne har bygget meningsordninger. Det konstante fokus på at forstå sig selv er faktisk en hindring.
Jeg lærte alt dette om matematik og indlæringsprocessen ikke i klasselokaler K-12, men efter min egen erfaring, som barn, da jeg voksede op med at læse Madeleine Langle og Dostoevsky, studerede sprog ved et af verdens førende sproguniversiteter og derefter pludselig forvandlet til en professor i teknik.
I min ungdom med talent for sprog og uden nok penge eller færdigheder havde jeg ikke råd til at gå på college (der var ikke tale om college-lån dengang). Så fra gymnasiet gik jeg direkte til hæren. Jeg elskede at studere fremmedsprog i gymnasiet, og hæren syntes mig et sted, hvor folk fik betalt penge for at lære fremmedsprog, selvom de studerede på det prestigefyldte Military Institute of Foreign Languages, et sted hvor sprogindlæring voksede til en videnskab. Jeg valgte russisk, fordi det var meget forskelligt fra engelsk, men det var ikke så svært, at jeg var nødt til at studere det i evigheder og lære at tale det på niveau med en fireåring. Derudover vinkede jerntæppet med sit mysterium: pludselig vil jeg være i stand til at bruge min viden om det russiske sprog og kigge,hvad ligger der bagved?
Efter at have tjent i hæren begyndte jeg at oversætte for de russere, der arbejdede på sovjetiske trawlere i Beringshavet. At arbejde for russerne var sjovt og spændende, plus det var en lidt glamourøs form for job for migranter. Du går til havet i fiskesæsonen, tjener anstændige penge, bliver konstant fuld undervejs og vender derefter tilbage til havnen i slutningen af sæsonen og håber, at du bliver kaldt tilbage til arbejde næste år. For en person, der talte russisk, var der kun et alternativ til beskæftigelse - at arbejde for National Security Agency (mine venner i hæren foreslog konstant denne mulighed for mig, men det var ikke for mig).
Jeg begyndte at forstå, at viden om et fremmed sprog i sig selv er en nyttig forretning, men med begrænset potentiale og antal muligheder. Ingen afbrød min telefon, ingen havde brug for min viden om bøjninger på russisk. Medmindre jeg skulle vænne mig til søsyge og lejlighedsvis underernæring på fede trawlere midt i Beringshavet. Hele tiden huskede jeg ingeniørerne, der studerede ved West Point, som jeg arbejdede sammen med i hæren med. Deres matematiske og videnskabelige tilgang til problemløsning var åbenlyst nyttig i den virkelige verden, langt mere nyttigt end mine misadventures med matematik i min ungdom ville have tilladt mig at forestille mig.
I en alder af 26 år, hvor jeg forlod hæren og på jagt efter nye muligheder, indså jeg således: Hvis jeg virkelig vil prøve noget nyt, hvorfor ikke starte med det, der kan åbne en hel verden af nye perspektiver for mig? Noget som teknik? Dette betød, at jeg ville prøve at lære et helt andet sprog - beregningssproget.
Med min dårlige forståelse af selv den enkleste matematik begyndte mine bestræbelser efter hæren med genoprettende lektioner i algebra og trigonometri. Dette var et godt stykke under nulniveauet for de fleste universitetsstuderende. Til tider syntes det at være en latterlig opgave at prøve at omprogrammere min hjerne, især da jeg kiggede på mine yngre klassekammeraters unge ansigter og indså, at de allerede havde forladt deres vanskelige klasser i matematik og naturvidenskab, og jeg besluttede at gå direkte for at møde dem. Men i mit tilfælde, i min erfaring med at mestre det russiske sprog som voksen, mistænkte jeg (eller bare håbede), at der ville være noget i aspekterne af at lære et fremmedsprog, som jeg kunne bruge til at mestre matematik og naturfag.
Da jeg lærte russisk, fokuserede jeg ikke kun på at forstå sproget, men også på flydende sprogbrug. Gratis brug af hele systemet (i dette tilfælde sproget) kræver tæt bekendtskab, hvilket udelukkende opnås gennem gentagen og varieret interaktion med dets elementer. Hvor mine klassekammerater var tilfredse med en simpel forståelse af talt eller skrevet russisk, forsøgte jeg at udvikle en indre, dyb forbindelse med sprogets ord og struktur. Jeg var ikke tilfreds med bare at kende betydningen af ordet "forstå". Jeg brugte verbet i praksis: Jeg konjugerede det konstant i forskellige tidspunkter, brugte det i sætninger, og til sidst forstod jeg ikke kun, hvornår jeg skulle bruge denne form for verbet, men også når jeg ikke skulle gøre det. Jeg trænede med udfordringen om hurtigt at huske alle disse aspekter og variationer. Hvis du ikke behersker sproget, og nogen chatter hurtigt på dig, som det sker i normal samtale (som altid lyder forfærdeligt hurtigt, når du lærer et fremmedsprog), har du ingen idé om, hvad du taler om. faktisk siger de, selvom du teknisk set forstår hvert ord individuelt og sætningernes struktur. Selvfølgelig kan du selv ikke tale hurtigt nok til, at indfødte kan lide at lytte til dig.
Med denne tilgang (med fokus på flydende i stedet for bare at forstå) kom jeg foran alle i klassen. Jeg var ikke klar over det dengang, men denne tilgang til sprogindlæring gav mig en intuitiv forståelse af det grundlæggende grundlag for læring og udviklet kompetence - dannelsen af blokke.
Blokdannelse blev oprindeligt udviklet i et revolutionerende arbejde af Herbert Simon, hvor han analyserede skak: blokke blev betragtet som forskellige neurale ækvivalenter af forskellige skakordninger. Efterhånden indså neurovidenskabere, at specialister som skakstormestre opnåede dette ved at gemme tusinder af blokke af viden om deres ekspertise inden for langtidshukommelse. Stormestere kan for eksempel huske titusinder af forskellige skakmønstre. Uanset disciplin kan kendere vække en eller flere godt svejset i deres bevidsthed, samlet i en blok af neurale subrutiner, ved hjælp af hvilken de analyserer og reagerer, når de står over for behovet for at lære nye ting. Niveauet for sand forståelse, evnen til at bruge det i nye situationer vises kun med den klarhed, niveauet af viden,som kun kan give gentagelse, huske og øve.
Som undersøgelser, der er udført blandt skakspillere, har ambulancelæger og kamppiloter vist, at øjeblikke med størst stress kommer en hurtig underbevidst behandling til at erstatte den bevidste analyse af situationen, da alle disse specialister udvikler et system af neurale subrutiner, blokke, på et dybt niveau. På et bestemt tidspunkt tjener en bevidst "forståelse" af, hvorfor du gør denne eller den anden handling kun som en hindring og resulterer ikke i de mest vellykkede beslutninger. Da jeg intuitivt forstod, at der var en forbindelse mellem at lære et fremmedsprog og at lære matematik, havde jeg ret. Daglig langsigtet praktisk beherskelse af russisk ladede og styrket mine neurale forbindelser, og jeg begyndte gradvist at forbinde de blokke af sprogkundskab, der let kunne bruges nu. Ved at organisere din læring i "lag" (med andre ordpraktiserende på en sådan måde, at jeg ikke kun vidste, hvornår jeg skulle bruge ordet, men også når jeg ikke skulle, eller helst en anden version af det), brugte jeg faktisk den samme tilgang, som praktikere i matematik og naturfag tager. Mens jeg studerede matematik og teknik som voksen, begyndte jeg at bruge den samme strategi, som jeg brugte til at studere et fremmedsprog. Jeg kiggede på ligestilling for at tage det mest elementære eksempel på Newtons anden lov f = ma. Jeg trænede i at forstå, hvad hvert bogstav betyder: f - tyngdekraft - betød tryk, m - kropsvægt - satte en slags modstand på mit pres, og a - en forfriskende følelse af acceleration. (Ækvivalent til at lære russisk var at sige højt bogstaverne i det russiske alfabet). Jeg husede ligestilling udenad, så den lagde sig i min hukommelseog jeg kunne lege med ham. Hvis m og a var store tal, hvordan påvirkede dette f da jeg tilsluttede dem til formlen? Hvis f var stort og a var lille, hvordan påvirkede dette m? Hvordan passede lighedens dele sammen? At lege med lighed var som verbkonjugation. Jeg begyndte intuitivt at forstå, at de slørede konturer af lighed var som et digt, der var mættet med metaforer, hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det for, for at mestre matematik og naturvidenskab godt, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem, jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg let kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog. Hvis m og a var store tal, hvordan påvirkede dette f da jeg tilsluttede dem til formlen? Hvis f var stort og a var lille, hvordan påvirkede dette m? Hvordan passede lighedens dele sammen? At lege med ligestilling var som verbkonjugation. Jeg begyndte intuitivt at forstå, at de slørede konturer af lighed var som et digt, der var mættet med metaforer, hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det sådan, for at jeg mestrer matematik og naturfag godt, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem, jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg let kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog. Hvis m og a var store tal, hvordan påvirkede dette f da jeg tilsluttede dem til formlen? Hvis f var stort og a var lille, hvordan påvirkede dette m? Hvordan passede lighedens dele sammen? At lege med ligestilling var som verbkonjugation. Jeg begyndte intuitivt at forstå, at de slørede konturer af lighed var som et digt, der var mættet med metaforer, hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det sådan, for at mestre matematik og naturfag godt, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg let kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog.hvornår erstattede jeg dem i formlen? Hvis f var stort og a var lille, hvordan påvirkede det m? Hvordan passede lighedens dele sammen? At lege med ligestilling var som verbkonjugation. Jeg begyndte intuitivt at forstå, at de slørede konturer af lighed var som et digt, der var mættet med metaforer, hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det, for i sandhed at beherske matematik og naturfag, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem, jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg let kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog.hvornår erstattede jeg dem i formlen? Hvis f var stort og a var lille, hvordan påvirkede det m? Hvordan passede lighedens dele sammen? At lege med lighed var som verbkonjugation. Jeg begyndte intuitivt at forstå, at de slørede konturer af lighed var som et digt, der var mættet med metaforer, hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det sådan for at beherske matematik og naturvidenskab godt, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem, jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg nemt kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog.hvordan påvirkede dette m? Hvordan passede lighedens dele sammen? At lege med ligestilling var som verbkonjugation. Jeg begyndte intuitivt at forstå, at de slørede konturer af lighed var som et digt, der var mættet med metaforer, hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det for, for at mestre matematik og naturfag godt, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem, jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg let kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog.hvordan påvirkede dette m? Hvordan passede lighedens dele sammen? At lege med ligestilling var som verbkonjugation. Jeg begyndte intuitivt at forstå, at de slørede konturer af lighed var som et digt, der var mættet med metaforer, hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det sådan, for at mestre matematik og naturfag godt, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg let kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog.hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det for, for at mestre matematik og naturvidenskab godt, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem, jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg let kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog.hvor mange smukke symbolske billeder er skjult. Selvom jeg på det tidspunkt ikke ville kalde det for, for at mestre matematik og naturvidenskab godt, måtte jeg langsomt dag efter dag opbygge stærke neurale "blok" -rutiner (som dem, jeg gjorde med formlen f = ma), så jeg let kan bruge oplysninger fra langtidshukommelsen, som jeg gjorde med det russiske sprog.som jeg gjorde med det russiske sprog.som jeg gjorde med det russiske sprog.
Nogle gange fortalte matematik- og naturfagslærere mig, at byggesten med information dybt indlejret i sindet var det absolutte fundament for deres succes. Forståelse skaber ikke flydende viden; tværtimod bygger flydende forståelse. Jeg tror faktisk, at ægte forståelse af et komplekst emne kun opstår under betingelserne for fri beherskelse af det.
Med andre ord er det i undervisningen i naturvidenskab og matematik let at skifte til undervisningsmetoder, hvor der lægges vægt på forståelse, og man undgår rutinemæssig gentagelse og praksis, som er grundlaget for flydende fag. Jeg lærte russisk ikke kun fordi jeg forstod det - trods alt er forståelse ikke en så vanskelig opgave, men den kan let glide væk fra dig. (Hvad betyder det russiske ord for "forstå"?) Jeg lærte russisk og stræbte efter flydende gennem øvelse, gentagelse og sammenpresning, kun en type sammenpresning, der stimulerede evnen til at tænke fleksibel og hurtig. Jeg lærte matematik og videnskab ved hjælp af nøjagtigt de samme principper. Sprog, matematik, naturvidenskab, som næsten alle områder af menneskelig viden, bruger de samme mekanismer i hjernen.
Da jeg brød ud i et nyt liv, blev jeg elektriker og derefter professor i teknik, forlod jeg russisk tidligere. Men 25 år efter sidste gang jeg drak på en sovjetisk trawler, besluttede min familie og jeg at køre gennem hele Rusland på den transsibiriske jernbane. På trods af at jeg så frem til denne tur, som jeg længe havde drømt om, var jeg bekymret. I årenes løb har jeg næppe talt mindst et ord på russisk. Hvad hvis jeg helt glemte ham? Hvad gav mig alle disse år med at mestre flydende sprog?
Da vi først gik ombord på toget, talte jeg selvfølgelig russisk som et toårigt barn. Jeg søgte hidsigt efter ord, lavede en fejl i bøjning og bøjning, min tidligere næsten perfekte udtale blev til en frygtelig accent. Men grundlaget blev lagt, og fra dag til dag blev min russer bedre og bedre. Men selv med et grundlæggende niveau var jeg i stand til at klare de daglige opgaver under vores rejse. Snart begyndte guiderne at nærme mig, så jeg kunne hjælpe med at oversætte dem til andre passagerer. Endelig ankom vi til Moskva og satte os i en taxa. Som jeg snart indså, ville chaufføren røve os som en klæbrig mand - han kørte os i nøjagtig den modsatte retning gennem trafikpropper i forventning om, at udlændinge, der ikke forstår noget, stiltiende ville betale for en ekstra time til satsen. Pludselig undslap russiske ord mig,som jeg ikke har talt i årtier. Jeg var ikke engang klar over, at jeg kendte dem.
Et eller andet sted dybt i mit sind forblev min flytning af sproget og kom ud i det rigtige øjeblik: det fik os hurtigt ud af problemer (og hjalp med at finde en anden taxa). Flydende tillader forståelse at blive en del af bevidstheden og dukker op, når du har brug for det.
Når jeg i dag ser, hvor meget der mangler specialister inden for naturvidenskab og matematik i vores land, observerer jeg moderne tendenser inden for pædagogik, der reflekterer over min egen vej, den viden, jeg har fået om vores hjernes evner, jeg forstår, at vi kunne opnå meget mere. Som forældre og lærere kan vi bruge enkle, tilgængelige metoder til at uddybe vores forståelse og gøre den nyttig og fleksibel. Vi kan skubbe andre mennesker og os selv til at studere nye discipliner, der syntes for vanskelige for os - matematik, dans, fysik, sprog, kemi, musik - og derved åbne helt nye verdener for os selv og andre.
Som jeg selv forstod, er det at have en grundlæggende, dybt forankret fri viden om matematik (og ikke kun "forståelse") grundlaget for alt. Det åbner døre til mange interessante specialiteter. Når jeg ser tilbage, forstår jeg, at jeg ikke burde have fulgt mine tilbøjeligheder og interesser blindt. Den del af mig, der "frit" elskede litteratur og sprog, var den samme, som fik mig til at elske matematik og naturvidenskab som et resultat, det ændrede og berigede mit liv.